Wiskunde in de piramide van Cheops

Wiskunde in de piramide van Cheops

Een tijd geleden struinde ik het internet af naar meer informatie over Pythagoras. M'n stiefzoon had namelijk net les gekregen over diens stelling en ik vroeg me af wanneer Pythagoras, Piet A. voor de vrienden, zo ongeveer leefde.
Piet bleek geboren te zijn rond 569 voor Christus en hij legde het bijltje erbij neer rond 475 voor Christus.
Onder de site die Google voor me uitspuugde stond een ander artikel die, mijns inziens, niets te maken had met Pythagoras, maar des te meer mijn interesse trok. Het artikel bleek van Nederlandse makelij te zijn en het zette keurig en duidelijk enkele van de wiskundundige elementen in de piramide van Cheops neer. Reinier van der Bend, de auteur, had er een werkstuk van gemaakt. Meer bepaald voor zijn MAVO-D wiskunde examen.
Ik stuurde de auteur een mail met daarin de vraag of ik zijn informatie in een artikel voor mijn site mocht gieten en kreeg daarop een positief resultaat. Daarnaast stuurde Reinier me het materiaal wat hij verzameld had en niet had kunnen gebruiken. Het originele artikel kan je lezen op http://home.hccnet.nl/r.bend/PIRAMIDE.HTM.

Tik uw e-mailadres in:

Aan jezelf
Aan iemand anders

Met welke lat meten we?

bespreek in het forum

Mag ik langs deze weg even attenderen op http://www.lenntech.com/conversie-calculator/lengte.htm? Een heel handige site om maateenheden en dergelijke te converteren. Doch, dit terzijde.
Natuurlijk kennen we de meter, centimer en millimeter en wellicht is je bekend dat er ook nog zoiets als een Inch (2,5400508001 centimeter) bestaat en van de el, de yard, de mijl en de feet hebben we ook al gehoord. Maar gebruikten de Egyptenaren die al tentijde van de bouw, zo'n 12.450 jaar geleden?
Toendertijds gebruikte men de Piramide Inch, de Cubit (de El) en de Royal Cubit. De Piramide Inch is gelijkaardig aan de Amerikaanse Inch en Britse Inch (2,5399978 centimeter).

De Cubit en de Royal Cubit zijn verkregen door afmetingen volgens ons systeem met elkaar te vergelijken. De benamingen van deze maten zijn niet afkomstig van de Egyptenaren zelf. De waarde van de Cubit en de Royal Cubit worden vaak door elkaar gehaald. Omdat deze getallen verkregen zijn door interpretatie van verschillende onafhankelijke meetsessies willen de getallen achter de komma van bron tot bron wel es verschillen. Echter over kleine verschillen . Dit zijn de getallen waarmee we gaan werken:

1 Piramide Inch = 2,5426901977 centimeter
1 Royal Cubit = 20,6066 Piramide Inch = 52,3396 centimeter
1 Cubit = 25 Piramide Inch = 63,56272549417 centimeter

Het aantal dagen in een jaar.

bespreek in het forum

1 Jaar bevat 365,26 dagen. De restwaarde 0,26 is afkomstig van de schrikkelcorrectie. Zoals je weet wordt er eens in de 4 jaar een kalenderaanpassing gedaan. Dan hebben we te maken met een zogenaamd schrikkeljaar. Het aantal dagen in een jaar zit, net zoals enkele andere belangrijke cijfers, verstopt in de piramide.

Aangezien 1 zijde van een piramide 9.131 Piramide Inch meet, en er vier zijden aan een piramide zijn hebben we een totale omtrek van 36.524 Piramide Inch. Dit is een hondervoud van 365,24, het aantal dagen in een jaar, inclusief schrikkelafwerking. Je kunt door aan dezelfde oplossing komen door één zijde te meten in Cubits. Dan krijg je 9.131 Piramide Inch / 25 = 365,24

Het getal Pi.

bespreek in het forum

Pi, oftewel 3,1415926535897932384626433832795 valt ook af te leiden uit de piramide. Het verhullen van Pi komt eigenlijk samen met de hoek van de piramide. We hebben een hoek van 52 graden is, en 1 zijde is 9.131 Piramide Inch. De hoogte van de piramide is 5.813 Piramide Inch, omgerekend zo'n 147,8 meter.
Delen we de omtrek van de basis door tweemaal de hoogte van de piramide dan vinden we Pi:

(9.131 Piramide Inch * 4) / (5.813 Piramide Inch * 2) = 36.524 / 11.626 = 3,1415792189919146740065370720798

Om de foutmarge te berekenen kunnen we de net verkregen waarde aftrekken van de echte Pi waarde:

3,1415926535897932384626433832795
3,1415792189919146740065370720798
- ----------------------------------------------
0,0000134345978785644561063111997 is dan het verschil tussen beide getallen.

Om precies te zijn levert dit een foutmarge van 0,009999957(2363467834915236720684976) % op.

In de koningskamer kun je ook Pi aantreffen. Tel van een korte zijde van de kamer de breedte en hoogte bij elkaar op. Vermenigvuldig dit met 3 en deel het resultaat door de lengte van de
kamer.
Kort samengevat:

Lengte = 10,480 m = 266,47393271896 Piramide Inch
Breedte = 5,240 m = 204,50780848975150788186011340598 Piramide Inch
Hoogte = 5,860 m = 230,4645687980661223437885124152 Piramide Inch

(230,46 + 204,50) * 3 / 412,16189095626842357728730547975 = 3,1660305343511450381679389312975 Piramide Inch.

Een verschil van enkele millimeters in de meting kan zorgen dat Pi meer of minder benaderd wordt. Het is echter wel opmerkelijk dat 3,16 zo dicht bij 3,14 schommelt.
Een dergelijk verschil zorgt voor een foutmarge van ongeveer 0,992%. Het verschil tussen beide getallen is 0,024437880761351799705295548017497.

De getallen van Fibonacci en de gulden snede (phi).

bespreek in het forum

Hoewel de naam anders doet vermoeden is de gulden snede geen naam van een nieuw erotisch getint magazine. De gulden snede is een verhouding die afgeleid kan worden uit de reeks van Fibonacci.
Fibonacci, of Leonardo Pisano zoals hij echt heette, kwam met die oneindige getallenreeks.
De reeks gaat als volgt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
In de reeks zie je dat ieder getal de som is van de twee voorgaande getallen.

Als je een getal deelt door het voorgaande getal dan kom je op de guldensnedeverhouding. Die verhouding is 1,6180339887498948482045868343656. Een snelle rekenaar zal merken dat die vlieger niet opgaat voor de eerste getallen in de reeks. De guldensnedeverhouding is het meest correct als er 2 grote getallen uit de rij worden gebruikt. Je kan het getal van fibonacci trouwens bekomen door de vierkantswortel van 5 te nemen, daar 1 bij op te tellen en dit delen door 2.

De gebouwen van tegenwoordig tonen dat dergelijke rechthoeken, met een verhouding van 1 : 1,618, nog steeds gebruikt worden door architecten, misschien omdat deze verhouding het meest symetrisch oogt. De guldensnede zit bijvoorbeeld ook in de natuur verborgen. Het is een universele waarde.

Hoe kwam de egyptenaren aan de gulden snede? Geen idee, maar dat ze het hadden valt na te meten want ook hun architecten waren op de hoogte van deze verhouding. De granieten 'koffer' die zich in de koningskamer bevindt is gemaakt volgens de gulden snede.
De gulden snede zit ook in de piramide. Het is de afstand van de top van de piramide tot het midden van één basiszijde, gedeeld door de helft van één basiszijde. Chinees?

Om de lengte van 1 schuine zijde te berekenen hebben we de stelling van Pythagoras nodig. Als vanouds zegt deze dat lengte van een schuine zijde van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de twee rechtshoekzijden.

Lengte zijde = wortel( ( 5.813 * 5.813 ) + ( ( 9.131 / 2 ) * ( 9.131 / 2 ) ) ) = wortel( 54.634.759,25 ) = 7.391,532943 Piramide Inch = 187,94 meter.

Om aan de gulden snede te komen moeten we enkel nog de schuine zijde delen door de helft van één basiszijde:
Gulden snede = 7.391,532943 / ( 9131 / 2 ) = 1,6189974686610903002973476381827

Ook hier kunnen we het verschil en de foutenmarge opmeten:

1,6189974686610903002973476381827
1,6180339887498948482045868343656
- -----------------------------------------------
0,0009634799111954520927608038171 is het verschil tussen beide getallen.

De foutmarge wordt hierdoor 0,99940%. Op een getal wat zo klein is, is dit meer dan aannemelijk.

Wist je trouwens dat de gulden snede ook in het beestig getal 666 verstopt zit?
Als je de sinus van 666 neemt en je vermenigvuldigt het met 2 dan krijg je de negatieve waarde van de gulden snede: -1,6180339887498948482045868343656

Piet Agoras in tha house!

bespreek in het forum

Naast de koffer/sarcofaag in de koningskamer bevat de piramide nog meer pythagorische verhoudingen. Een pythagorische verhouding is een verhouding van een rechthoekige driehoek die terug te leiden valt tot de 5 : 4 : 3 afmetingen.

Wanneer je via de gang de koningskamer binnengaat zul je voor de opening een grote granieten steen aantreffen. De sluitsteen heeft afmetingen van 124 Piramide Inch op 93 Piramide Inch. Om te weten of deze steen ook aan de pythagorische verhouding voldoet moeten we de diagonaal berekenen:

Diagonaal = wortel ((124 * 124) + (93 * 93) ) = Wortel (24025)= 155 Piramide Inch.

155 past precies in het plaatje van Piet: 5 : 4 : 3. De bouwers waren dus goed op de hoogte van de stelling van Pythagoras. Stom natuurlijk, want Pythagoras kwam pas lang na de piramides. Het toont enkel aan dat wat Pythagoras zei niet nieuw was. Zoals vele griekse filosofen, waaronder ook Plato, werd Pythagoras van bepaalde kennis op de hoogte gesteld tijdens reizen naar Egypte.
De koningskamer zelf heeft natuurlijk ook z'n afmetingen. En wat wil het 'toeval', Als je een diagonaal trekt vanuit beide uiterste hoeken, dan krijg je wederom de 5 : 4 : 3.

De volumineuze sarcofaag.

bespreek in het forum

De stenen "sarcofaag" die zich in de koningskamer bevindt heeft een lengte van 89,94 Piramide Inch, een breedte van 38,67 Piramide Inch en een hoogte van 41,21 Piramide Inch.
Met deze afmetingen kunnen we het volume (=lengte * breedte * hoogte) van de bak bepalen:

Volume buitenkant sarcofaag = 89,94 Piramide Inch * 38,67 Piramide Inch * 41,21 * Piramide Inch = 143.327,547558 kubieke Piramide Inch

Omdat de sarcofaag uit dikke granieten wanden bestaat is het volume van de binnenkant aanzienlijk minder dan aan de buitenkant. De hoogte binnenin de sarcofaag bedraagt 34,31 Piramide Inch, de breedte 26,68 Piramide Inch en de lengte 77,87 Piramide Inch. Het volume wordt dus:

Volume binnenkant sarcofaag = 77,81 Piramide Inch * 26,68 Piramide Inch * 34,31 Piramide Inch = 71.226,558148 kubieke Piramide Inch

Het volume van de buitenkant is exact twee keer zo groot als het volume van de binnenkant. Wat heet exact? Eigenlijk is de buitenkant 2.012276758623981797964330859583 keer zo groot. De afwijking Stel dat het volume van de binnenkant van de sarcofaag echt 2 keer zo klein was, dan kregen we een volume van 71.663,773779 Piramide Inch. Het verchil tussen de echte waarde en de fictieve waarde bedraagt 437.215631. De foutmarge tussen beide getallen is 0.993%. Wat op een driedimensionele waarde heel klein is.

Wanneer je het volume berekent werk je met 3 dimensies. Wat wil zeggen dat de foutmarge van iedere gemeten dimensie ook groter wordt.
Stel dat je een soortgelijke sarcofaag van van exact 300 centimeter lang, exact 150 centimeter hoog en 185,41019662496845446137605030969 centimeter breed.
Het volume van een dergelijke kist bedraagt 8.343.458,848123580450761922263932 kubieke centimeter.

Stel dat Piet Agoras de kamer binnenkomt met een meetlint. Hij is zinnens je sarcofaag op te meten. Hij heeft echter een maandagochtendgevoel en loopt de kantjes ervan af. Hij meet de volgende waarden:
Lengte: 300,0984112621843349184151862518 centimeter (Ik noem maar wat ;)
Breedte: 185,53569849448123354866588435979 centimeter
Hoogte: 150,1294112621843349184151862518 centimeter

Het volume van de kist van Piet wordt hierdoor 8358960,6309677871350673607438197 kubieke centimeter.
Een foutmarge van 0.99814548919075% en een verschil van 15.501,782844206684305438479887 kubieke centimeter.

Doordat een foutmarge van 2 volumeverschillen, gebaseerd op 6 niet-100% exacte metingwaarden, heel snel oploopt kunnen we gerust stellen dat het volume van de binnenkant van de kist in de koningskamer exact 2 keer zo klein is als het volume van de buitenkant.

De precessie der equinoxen.

bespreek in het forum

De aarde waar wij ons huisje op hebben maakt 3 bewegingen. Onze planeet draait rond haar eigen as en draait daarnaast nog eens rond de zon. Er is nog een andere beweging die de aarde maakt. De derde beweging heet precessie en is veel minder gekend.

De precessie wordt veroorzaakt door de gravitatieinvloed van de zon en de maan. Die invloed werkt namelijk in op de equatoriale uitzettingen. Het zal je wellicht zijn opgevallen dat onze planeet niet helemaal rond is. Ook de andere planeten van het zonnestelsel hebben daar een zekere invloed op. Door de precessie gaan de hemelpolen cirkels vormen. Door het wiebelen van de aarde, beweegt ook de hemelequator.

De precessie valt moeilijk te meten. Rekenkundig neemt men de waarde van 26.000 aan, maar dat kan niet helemaal correct zijn. De precessiecyclus is ook de cyclus die verantwoordelijk is voor het doorlopen van de dierenriem. De 12 tekenen van de dierenriem worden helemaal doorlopen eens in die 26.000 jaar. De jaarlijkse snelheid ongeveer 50,2 boogseconden

Omdat een dierenriemteken geen exacte duratie heeft, en ieder dierenteken verschilt in duur van de ander werkt men met een gemiddelde waarde. Ieder teken zou daarmee doorlopen worden in 2.166,66 jaar. Men vermoedt dat de exacte waarde van de precessie 25.920 jaar bedraagt. Hoewel men eigenlijk vantevoren zeker is dat dit enkele jaren kan schommelen.

De klassieke wetenschap vertelt ons dat de precessiewaarde pas gekend is sinds 129 voor Christus. Ene Hipparchus zou zijn stellaire gegevens getoetst hebben met die van een generatievoorganger. Het was voor Hipparchus onmogelijk om de precessie te weten als hij enkel de gegevens uit zijn tijdsperiode had, daarvoor is de schommeling van de precessie veel te langzaam.

De bouwers van de piramide van Cheops hadden kennis van de precessie. Zoals je weet werd de piramide gebouwd in 10.450 voor Christus. De klassieke wetenschap gelooft deze datum niet want volgens hun werd de piramide in de regeerperiode van Cheops gebouwd. Er zijn echter meer gegevens die dit tegenspreken dan dat er zijn die dit staven. De oogkleppen der geschiedenis doen eens weer hun werk. Iets wat vaker voorkomt bij het beoordelen van vroege archeologische vondsten.

Om terug te komen op de precessie... Je raadt het al, ook deze waarde zit in de piramide verstopt. Zelfs al nemen we aan dat de piramide inderdaad uit de tijd van Cheops afkomstig is, dan nog zou men de precessie niet gekend hebben. Daarvoor waren de Egyptenaren, volgens de klassieke wetenschap, te dom. Even kijken wat de getallen opleveren:

De precessie. ook wel precessie van de equinoxen genoemd, kan teruggevonden worden als je de som neemt van de 2 basisdiagonalen van de piramide. Natuurlijk rekenen we nog steeds in Piramide Inch. Dit wordt zo'n 25.827 Piramide Inch.
Om een andere manier te vinden die de precessie uit de piramide haalt moeten we een bezoekje aan de koningskamer brengen. De lengte vanaf het plafond tot aan de top van de piramide bedraagt 4.110,5 Piramide Inches. Als die 4.110,5 de straal van een cirkel zou bedragen, dan is de omtrek van die cirkel gelijk aan de precessiewaarde:

Precessiecyclus = 4110,5 * 2 * Pi = 25.827 jaar.

Aangezien de precessie een waarde is die we niet met zekerheid vast kunnen stellen heeft het ook weinig nut om een foutmarge te gaan berekenen. De kans zit er wel dik in dat 25.827 de enige echte waarde is die de precessie heeft. Men wist wel meer in die tijden, nietwaar...

Wat nog meer?

bespreek in het forum

Naast de getallen die het universum (pi en phi), en onze menselijke proporties (phi) beschrijven zullen er waarschijnlijk nog onbekende getallen verscholen zitten in de piramide. Niets zo erg als denken dat je alles weet. Jammer dat je nooit weet of een getal een revolutionaire betekenis heeft, want een getal kan zowat vanalles voorstellen. Als je bijvoorbeeld niet weet dat er zoiets als een gulden snede bestaat, dan ben je weinig met het getal 1,618 en lijkt het maar een betekenisloze waarde.

Aantal keer bekeken in 2010:

&inf;

Auteur: Seriewoordenaar